隨伴 (函手)
adjoint。adjunction
函手の隨伴對$ (F\dashv G):{\bf C}\xrightleftarrows[F]{G}{\bf D} ,$ F:{\bf D}\rightleftarrows{\bf C}:Gとは以下が一定の條件を滿たす時を言ふ
左隨伴 (left adjoint)$ F:{\bf C}\larr{\bf D} 右隨伴 (right adjoint)$ G:{\bf C}\to{\bf D} 單位 (圈) (unit)$ \eta:F;G\Larr{\rm Id}_{\bf D} 餘單位 (counit)$ \epsilon:{\rm Id}_{\bf C}\Larr G;F 隨伴對$ F\dashv Gであるとは、$ X\in|{\bf C}|,$ Y\in|{\bf D}|を任意の對象として、Hom 函手の閒の自然同型$ {\bf C}(F(Y),X)\cong{\bf D}(Y,G(X))が有る事を言ふ 隨伴行列$ Aが$ \lang A{\bf x},{\bf y}\rang = \lang {\bf x},A^*{\bf y} \rangを滿たす事の類似 全單射$ \Phi_{X,Y}:{\bf C}(F(Y),X)\to{\bf D}(Y,G(X)),$ {\Phi_{X,Y}}^{-1}:{\bf D}(Y,G(X))\to{\bf C}(F(Y),X)が在る left-adjunct$ f:F(Y)\to X
right-adjunct$ g:Y\to G(X)
三角恆等式による定義
隨伴對$ F\dashv Gであるとは、以下の三角恆等式 (triangle identities。zig-zag 恆等式 (zigzag identities)) を滿たす事を言ふ
$ F\xRightarrow{\eta;F}FGF\xRightarrow{F;\epsilon}F={\rm id}_F,$ (\eta;F);(F;\epsilon)={\rm id}_F
$ G\xRightarrow{G;\eta}GFG\xRightarrow{\epsilon;G}G={\rm id}_G,$ (G;\eta);(\epsilon;G)={\rm id}_G
code:mmd
flowchart TD
C1 --id--> C2
D1 --id--> D2
C1 --G--> D1
C2 --G--> D2
D1 --F--> C2
C3 --id--> C4
D3 --id--> D4
D3 --F--> C3
D4 --F--> C4
C3--G--> D4
C5 --id--> D5
C5 --id--> D5
普遍射 (universal morphism) を使った定義
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/8d/AdjointFunctorSymmetry.png
https://gyazo.com/32d8c0b4801a43ef69367abb3e484f94 https://docs.google.com/presentation/d/1gaxbYkwhYsltozsrg5GpnERe8dp97aN7yXCXb41Dt4k/edit#slide=id.g333a905fb17_0_0
code:adjoint.mmd
flowchart LR
subgraph C
X
end
subgraph D
Y
end
FY --f--> X
GFX --εX--> X
FY --F(g)--> GFX
Y--g-->GX
Y--ηY-->FGY
FGY--G(f)-->GX
X -.G.-> GX -.F.-> GFX
Y -.F.-> FY -.G.-> FGY
函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D}が左隨伴であるとは、任意の對象$ X\in|{\bf C}|に對して對象$ Y\in|{\bf D}|が存在し普遍射$ \epsilon_X:F(Y)\to Xがただ一つ在る事を言ふ 全ての普遍射$ \epsilon_Xの集まりは自然變換と成り餘單位$ \epsilonと呼ぶ 函手$ G:{\bf C}\to{\bf D}が$ Xから$ Yへの對應で定まり、右隨伴と呼ぶ 函手$ G:{\bf C}\to{\bf D}が[* 右隨伴であるとは、任意の對象$ Y\in|{\bf D}|に對して對象$ X\in|{\bf C}|が存在し普遍射$ \eta_Y:Y\to G(X)がただ一つ在る事を言ふ] 函手$ F:{\bf C}\larr{\bf D}が$ Yから$ Xへの對應で定まり、左隨伴と呼ぶ 隨伴の成す圈
bitterharvest’s diaryから
$ \varnothing\dashv\{*\}
直和$ \_+X$ \dashv直積$ \_\times X$ \dashv冪$ \_^X
商$ \dashv部分